逆矩阵计算器

免费的在线逆矩阵计算器计算2x2、3x3或更高阶方阵的逆矩阵。使用在线计算器时，您可以学习如何通过高斯-乔丹法和伴随法找到矩阵的逆。所以，让我们继续前进！

概念

矩阵的逆式如下： $$A^{-1} = \frac{Adj\left(A\right)}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} \\}$$

其中:

$$Adj \left(A\right) = \begin{bmatrix}d & -b\\ -c & a \\\end{bmatrix}$$ For $$A = \begin{bmatrix}a & b\\ c & d \\\end{bmatrix}$$ $$det A = \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} \\ = ad - bc$$

对于矩阵的逆，应满足以下条件

• 矩阵应该是方阵。
• 矩阵的行列式|A|≠0

我们可以通过逆矩阵计算器检查矩阵是否满足上述条件。如果你考虑取消对3x3矩阵的伴随和逆的定义呢？如果 $$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$

那么
$$Adj A = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$ 为了确定 3x3 矩阵的逆，我们必须处理子式和余因式的概念。

矩阵的每个元素都有子式定义。特定元素的子式是消除包含该元素的行和列后得到的行列式。

辅因子:

元素的余因式是通过将子式与特定元素的行与列的指数和相乘来确定的。 $$Cofactor of a_{ij}= (-1)^i+j × minor of a_{ij}$$ 对于上面给定的矩阵 A，我们正在寻找矩阵的子式和余因式。 $$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$ $$M_{11} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}e & f \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{12} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & f \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{13} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d& e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{21} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{22} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}a & c \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{23} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{31} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} e & g \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{32} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} a & c\\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{33} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} d & e\\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$\text{Cofactor Matrix} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}$$ $$A^{t} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$ $$Adj\left(A\right) = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$ 通过逆矩阵计算器可以快速完成 3x3 矩阵逆的整个计算。

行列式:

矩阵的行列式是矩阵的唯一表示。矩阵的行列式等于矩阵特定行和列的元素与其余因子的乘积之和。我们可以通过行列式计算器找到矩阵的行列式。

奇异矩阵：

已知行列式值为零的最大值是奇异矩阵。对于奇异矩阵 A，|A| = 0，我们无法找到奇异矩阵的逆；如果我们找到 3x3 矩阵或任何其他方阵的逆，则此条件适用。

非奇异矩阵：

行列式不等于零的矩阵称为非奇异矩阵。非奇异矩阵|A|≠0，由于可以计算其逆，因此也称为可逆矩阵。

高斯乔丹方法：

我们可以通过以下操作实现高斯乔丹方法：$$\begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\g&h& i \end{bmatrix}\\$$ 我们将通过应用行运算使矩阵成为单位矩阵。 $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}a&b&c&1&0&0\\ d&e&f&0&1&0\\g & h& i&0&0&1 \end{array}\right]\\$$ 我们需要执行行运算来求矩阵的逆。我们需要将矩阵转换为单位矩阵，然后我们需要执行行运算。结果将是高斯乔丹消元法求得的逆矩阵。逆矩阵计算器可以通过高斯乔丹消元法快速求得矩阵的逆。

示例:

通过高斯乔丹消元法计算并求解 3x3 矩阵的逆： $$\begin{bmatrix}1&1&9 \\ 2&5&1\\1&2&7\end{bmatrix}\\$$ 现在找到行列式：我们将通过应用行运算使矩阵成为单位矩阵。 $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&9&1&0&0\\ 2&5&1&0&1&0\\1&2&7&0&0&1\end{array}\right]\\$$ 通过高斯乔丹消元法得到的最终逆矩阵是： $$Inverse matrix= \begin{bmatrix}3&1&-4 \\ -1.182&-0.182&1.545 \\ -0.091&-0.091&0.273 \\\end{bmatrix}$$ 逆矩阵计算器可以在几秒钟内找到 3x3 矩阵的逆。

逆矩阵计算器的工作原理：

使用逆矩阵计算器时，逆矩阵计算很容易找到。这可以在最简单和有效的方式中在几分钟内完成。 

常见问题解答：
什么是可逆矩阵？
具有逆矩阵的矩阵，其性质应为非奇异且为平方。

我们能找到所有矩阵的逆吗？
我们无法找到所有矩阵的逆，只有可逆矩阵的逆才能通过矩阵逆计算器确定。

我可以在反转后获得原始矩阵吗？
您只需采取以下步骤即可通过矩阵逆计算器获得原始矩阵：

输入您的逆矩阵。
点击计算按钮以获取逆矩阵的逆。
它会给您原始矩阵。
您可以反转奇异矩阵吗？
不，您不能反转奇异矩阵，因为在计算矩阵的逆时，行列式变为零。您可以使用逆矩阵计算器来查找矩阵是否为奇异矩阵。

结论：
通过矩阵求逆法求线性方程的解，我们需要求逆矩阵。3x3 矩阵的逆和 4x4 矩阵的逆是一个漫长的过程，我们需要特殊的逆矩阵。